Dado um intervalo não-degenerado no conjunto dos números reais, será que sempre existem números racionais e irracionais nesse intervalo?

Nos intervalos não-degenerados dos números reais os racionais e irracionais andam de mãos dadas.

Sabemos que o conjunto numérico dos racionais e dos irracionais são disjuntos, mas também se tem que o conjunto numérico dos reais é a união desses dois conjuntos.     

Então, quando pegamos um intervalo na reta não-degenerado, será que vai ter números irracionais e racionais nesse mesmo intervalo?

 "São a esses tipos de perguntas que a Análise Real responde."

Exemplo: seja o intervalo [2,5] nos reais, será que nesse intervalo existem apenas números racionais, apenas irracionais, ou números racionais e irracionais? 

Existe um teorema para os números reais com o seguinte enunciado: 

Todo intervalo não-degenerado contém números racionais e irracionais. 

No livro de Análise Real, volume 1, do Elon Lages Lima, pagina 20, encontra-se a demonstração desse resultado.

Portanto, todo intervalo não-degenerado da forma (a,b) ou [a,b] no conjunto dos números reais contém números racionais e irracionais.

Agora, por curiosidade, será que no conjunto dos números reais há mais números racionais ou mais números irracionais? Será que a Análise Real também responde a esse tipo de pergunta?

Obs: No conjunto dos números reais,  intervalo degenerado é da forma [a,b], com a=b, no qual ele reduz-se a um único elemento. Ele vai ser não-degenerado quando a < b e assim haverá mais que um número no intervalo, infinitos. 

Exemplo: O intervalo [1,1] é degenerado, pois só há nele o próprio 1, já se for [1,2] esse intervalo é não-degenerado e há infinitos números reais nele.